Coordenadas polares.
Se dice que el par ordenado \(\left(a,b\right)\) donde \(a\) y \(b\) pertenecen a \(\mathbb{R}\) está escrito en coordenadas rectangulares, esto es debido a que las rectas \(x=a\) y \(y=b\) forman un rectángulo con los ejes de coordenadas. Otra manera de escribir un par ordenado es llamada coordenadas polares.
Un par \(\left(r,\phi\right)\) está escrito en coordenadas polares cuando \(r\) representa la distancia dirigida desde el origen de coordenadas llamado polo al punto \(\left(x,y\right)\) y \(\phi\) es el ángulo que forman el eje \(x\) positivo llamado eje polar y el radio vector dibujado desde el polo al punto \(\left(x,y\right).\) Donde al igual que al estudiar trigonometría \(\phi\) es positivo cuanto se considera su sentido de giro contrario al giro de las manecillas del reloj, y para evitar ambigüedades se toma el radio vector \(r\) siempre positivo como se muestra en la figura.
La combinación de estos elementos describe un nuevo sistema llamado sistema de coordenadas polares donde un punto \(P\left(r,\phi\right)\) se ubica especificando su posición con respecto al eje polar (recta fija horizontal) y al polo, punto de intersección del eje polar con una recta perpendicular llamada eje a \(\pi/2.\)
El ángulo \(\phi\) no es único y puede medirse en radianes o grados, sin embargo, es poco común trabajar en grados así que casi siempre \(\phi,\) se mide en radianes. Para diferenciar cualquier otro ángulo \(\theta\) que sea coterminal con el ángulo \(\phi,\) se dice que \(\phi,\) es el argumento principal, el cual cumple la condición \(\tan{\phi}=(y/x),\) pero no necesariamente \(\phi=\tan^{-1}{(y/x)}\) ya que cualquier ángulo \(\theta=\phi+2n\pi\) donde \(n\in\mathbb{N}\) cumple esta condición. Como consecuencia de esto se tiene que un punto \(\left(r,\phi\right)\) representa un único par en el sistema rectangular, en cambio un punto \(\left(x,y\right)\) puede ser representado de diversas formas en coordenadas polares, mediante el uso de las ecuaciones de transformaciones rectangulares-polares. El par \(\left(r,\phi\right)\) es llamado par principal.
Ecuaciones de transformaciones rectangulares-polares.
Sea el punto \(P\left(x,y\right)\) un punto cualquiera del plano cartesiano el cual se desea escribir en coordenadas polares, donde el polo y el eje polar son coincidentes con el origen y el eje \(x\) positivo en el sistema rectangular, entonces de la figura de arriba se deducen las ecuaciones de transformación de coordenadas rectangulares a polares (y viceversa) de la manea siguiente.
Trasformaciones rectangulares-polares
\begin{align}
&\cos{\phi}=x/r\Longrightarrow x=r\cos{\phi}\\
&\sin{\phi}=y/r\Longrightarrow y=r\sin{\phi}\\
&r^2=x^2+y^2\\
&\tan{\phi}=y/x\ \ \ \ {\rm donde~} 0\le\phi\le2\pi\end{align}
Para determinar el argumento principal los signos de ye y \(x\) proporcionan el cuadrante al cual pertenece \(\phi.\)
Si \((x,y)\) se ubica en primer cuadrante \(\phi=\tan^{-1}{(y/x)}\)
Si \((x,y)\) se ubica en segundo cuadrante
\(\phi=\pi+\tan^{-1}{(y/x)}\)
Si \((x,y)\) se ubica en tercer cuadrante
\(\phi=\pi+\tan^{-1}{(y/x)}\)
Si \((x,y)\) se ubica en cuarto cuadrante
\(\phi=2\pi+\tan^{-1}{(y/x)}\)
Ejemplo. Determinar las coordenadas polares del punto cuyas coordenadas rectangulares son (-1,1).
Solución: para la transformación
$$P\left(x,y\right)\longrightarrow P\left(r,\phi\right)$$ se utilizan las ecuaciones de transformación de manera directa, de
$$r^2=x^2+y^2\Longrightarrow r=\sqrt{\left(-1\right)^2+\left(1\right)^2}=\sqrt2$$
Para el argumento \(\phi\) como \((-1,1)\) se ubica en el segundo cuadrante:
\(\phi=\pi+\tan^{-1}{(y/x)}\) así que \(\phi=\pi+\tan^{-1}{\left(1\right)}=5\pi/4\) de donde se concluye que
$$P\left(-1,1\right)\Longrightarrow P\left(\sqrt2,5\pi/4\right)$$
Ejemplo. Determinar las coordenadas rectangulares del punto cuyas coordenadas polares son \((3,\pi/6).\)
Solución: para la transformación
$$P\left(r,\phi\right)\longrightarrow P\left(x,y\right)$$
se tienen las expresiones, \(x=rcos{\phi};\ \ \ \ \ rsin{\phi};\) de dónde.
\begin{align}
&x=3\cos{\frac{\pi}{6}}=\frac{3\sqrt3}{2}\\
&y=3\sin{\frac{\pi}{6}}=\frac{3}{2}\\
&P\left(x,y\right)=P\left(\frac{3\sqrt3}{2},\frac{3}{2}\right)\end{align}
Ecuaciones polares.
Una ecuación en coordenadas polares por lo general es una expresión en la forma \(f(r)=f\left(\phi\right)\) aunque en algunos casos se pueden tener ecuaciones polares de forma \(r=f\left(\phi\right).\) Si para todo valor de \(\phi\) el radio vector \(r\) es finito, la ecuación representa una curva cerrada, para aquellos valores de \(\phi\) que producen imágenes complejas de \(r\) la ecuación no representa ninguna curva.
Ejemplo. Una ecuación polar. Determinar la ecuación polar para la circunferencia \(x^2+y^2-6x-4y+9=0.\)
Solución: aplicando las ecuaciones de transformaciones se tiene.
\begin{align}
&r^2=x^2+y^2\ \ \ \ \ \ x=rcos{\phi}\ \ \ \ \ y=rsin{\phi}\\
&r^2-6r\cos{\phi}-4r\sin{\phi}+9=0\\
&r^2+9=r\left(6\cos{\phi}+4\sin{\phi}\right)\\
&\frac{r^2+9}{r}=6\cos{\phi}+4\sin{\phi}\end{align}
La cual tiene la forma \(f(r)=f\left(\phi\right)\) y por tanto es la expresión buscada.
Ejemplo. Determinar la ecuación polar para la expresión \(x^2+3xy+y^2=1\)
Solución: reescribiendo la expresión como \(x^2+y^2+3xy=1\) se obtiene,
$$r^2+3r^2\cos{\phi}\sin{\phi}=1\ \Longrightarrow r^2(1+3\cos{\phi}\sin{\phi})=1$$
de donde,
$$r=\sqrt{\frac{1}{1+3\cos{\phi}\sin{\phi}}}\ \ {\rm que\ tiene\ la\ forma}\ r=f\left(\phi\right)$$
Ejemplo. Determinar la ecuación cartesiana (sin radicales) de la expresión cuya forma polar es \( r=\csc^2{\left(\phi/2\right)}.\)
Solución: aplicando las fórmulas del ángulo mitad
\begin{align}
&r=\left(\sqrt{\frac{2}{1-\cos{\phi}}}\right)^2\Longrightarrow r=\frac{2}{1-\cos{\phi}}\\
&{\rm dado\ que}\ x=r\cos{\phi}\Longrightarrow \cos{\phi}=x/r\\
&r\left(1-\frac{x}{r}\right)=2\Longrightarrow r=x+2\\
&r^2=x^2+4x+4\Longrightarrow x^2+y^2=x^2+4x+4\\
&y^2-4x+4=0\end{align}
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Graficando funciones polares.
Dodo que el sistema de coordenadas polares no es un sistema rectangular como el plano cartesiano, para graficar expresiones en coordenadas polares se hace necesario de un nueva representación gráfica llamada plano polar, el cual está formado por circunferencias concéntricas las cuales tienen por centro al polo y una serie de rectas convergentes todas al polo como se muestra en la figura de la izquierda.
Por conveniencia se elige el radio r de la primera circunferencia como escala para los demás radios, siendo estos múltiplos enteros de \(r\) y las rectas trazadas se dibujan con igual ángulo una con respecto de la otra, para la estética.
Al igual el plano cartesiano al graficar en el plano polar conviene y es necesario realizar una tabla de valores la cual brinde información sobre los valores de \(\phi\) contra \(r.\) Aunque los punto polares son de la forma \(P\left(r,\phi\right)\) se le da valores a \(\phi\) para obtener r. Mientras más puntos se logren determinar más precisa será la gráfica, como siempre se recomienda graficar las intersecciones con los ejes, en caso de que existan entre los puntos a graficar.
Algunas consideraciones importantes al graficar en el plano polar son:
Determinar las intersecciones, si las hay.
Determinar la simetría, si las hay.
Determinar la extensión de la curva (si es finita o no).
Determinar la mayor cantidad de puntos posibles con los cuales quede bien definida la curva, donde el lugar geométrico puede tener más de una representación polar, por lo que se debe estar seguro de la respuesta. Analice dos veces y grafique una vez.
Unir con una curva suave todos los puntos encontrados teniendo en cuenta que las rectas convergentes están cada una a \(\phi\) radianes.
Intersecciones.
Si existen intersecciones con el eje polar, estas quedan determinadas al resolver r remplazando \(\phi=n\pi\) donde \(n\in\ \mathbb{Z}.\) Las intersecciones al eje \(\pi/\2\) (si existen) quedan determinadas haciendo \(\phi=\frac{n}{2}\pi\) en donde \(n\) es impar. La gráfica pasa por el polo si para algún valor de \(\phi\) se tiene \(r=0.\)
Simetrías Al igual en que en el plano cartesiano la simetría en el plano polar puede ser analizada desde tres francos, el eje polar, el eje de ordenada y el origen, en cambio en el plano polar, eje a \(\pi/2\) y claro está simetría con el polo.
Simetría al eje polar.
Se dice que la gráfica de una expresión polar es simétrica al eje polar si para cada punto \(P\left(r,\phi\right)\) existe también el punto \(P\prime\left(r,-\phi\right).\) Gráficamente la interpretación a esto es que el eje polar biseca (corta en el punto medio) el segmento de recta \(PP\prime.\) Diremos que una expresión polar es simétrica al eje polar si al sustituir \(\phi\) por \(-\phi\) resulta una ecuación equivalente.
Simetría al eje a \(\pi/2.\)
La grafica de una expresión polar es simétrica con el eje a \(\pi/2\) si al sustituir \(r\) por \(-r\) y \(\phi\) por \(-\phi\) resulta una expresión equivalente, esto es, para todo par \(P\left(r,\phi\right)\) que pertenece a la gráfica entonces también está en la gráfica el par \(P\left(-r,-\phi\right).\)
Simetría al polo.
La gráfica de una ecuación polar es simétrica al polo si al sustituir \(r\) por \(-r\) resulta una ecuación equivalente, esto es para cada punto \(P\left(r,\phi\right)\) de la gráfica existe además el punto \(P\left(-r,\phi\right).\) Las condiciones de simetría en el plano polar se resumen en la tabla siguiente.
Simetría en coordenadas polares.
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